【導(dǎo)讀】在本系列的第一篇文章中,我考察了濾波器相位與濾波器實 現(xiàn)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的關(guān)系。在第二篇文章中,我考察了低通和高通 響應(yīng)濾波器傳遞函數(shù)的相位偏移。這篇文章將重點討論帶通 響應(yīng)。雖然濾波器主要針對幅度響應(yīng)而設(shè)計，但在一些應(yīng)用 中，相位響應(yīng)可能非常重要。
出于考察目的，有源濾波器的傳遞函數(shù)實際上是濾波器傳遞 函數(shù)和放大器傳遞函數(shù)的級聯(lián)（見圖1）。
圖1. 濾波器作為兩個傳遞函數(shù)的級聯(lián)。
帶通傳遞函數(shù)
把低通原型的分子改為
結(jié)果將把濾波器變成一個帶通 函數(shù)。這會在傳遞函數(shù)內(nèi)引入一個零點。分子中的一個s得到 一個零點，分母中的一個s得到極點。零點將產(chǎn)生頻率上升響 應(yīng)，而極點將產(chǎn)生頻率下降響應(yīng)。
二階帶通濾波器的傳遞函數(shù)變?yōu)椋?/div>
此處的ω為濾波器增益峰值化時的頻率 (F0 = 2 π ω0)
H0 為電路增益（Q峰值化），定義為：
其中，H為濾波器實現(xiàn)的增益。
對帶通響應(yīng)來說，Q有特殊意義。它是濾波器的選擇性。定義為：
其中，F(xiàn)L和FH為響應(yīng)比最大值相差–3 dB時的頻率。
濾波器的帶寬 (BW) 定義為：
可以證明，諧振頻率 (F0)為 FL 和 FH的幾何平均值，這就意味著，F(xiàn)0 在對數(shù)尺度上將出現(xiàn)在FL 和 FH 二者的中點。
另需注意的是，在對數(shù)尺度上，帶通響應(yīng)的波裙在 F0 左右始終是對稱的。
帶通濾波器對各種Q值的幅度響應(yīng)如圖2所示。在此圖中，中心頻率的增益歸一化為1 (0 dB)。
圖2. 歸一化的帶通濾波器幅度響應(yīng)
雖然本文主要關(guān)注相位響應(yīng)，但了解下濾波器幅度響應(yīng)也很有用。
這里需要提醒一下。帶通濾波器有兩種定義方式。窄帶情況為經(jīng)典定義，如上文所示。然而，在某些情況下，如果高、低截止頻率相差很大，則帶通濾波器采用獨立的高通和低通部分進(jìn)行構(gòu)造。這里所說的相差很大是說至少相差2個倍頻程（頻率×4）。這就是寬帶情況。本文中，我們主要關(guān)注窄帶情況。對 于寬帶情況，可將濾波器視為獨立的高通和低通部分。
雖然帶通濾波器可用巴特沃茲、貝塞爾或切比雪夫等標(biāo)準(zhǔn)響應(yīng)定義，但它們也通常按照其Q和F0定義。
帶通濾波器的相位響應(yīng)為：
請注意，不存在單極點帶通濾波器。
圖3. 歸一化的帶通濾波器相位響應(yīng)
圖3從中心頻率的1%到中心頻率的100倍對公式6進(jìn)行估值。中心頻率的相移為0°。中心頻率為1，Q等于0.707。此Q與前一篇文章中使用的Q相同，但該篇文章中我們使用的是α。記 住，α = 1/Q。
觀察后發(fā)現(xiàn)，此曲線的形狀基本上與低通（和相應(yīng)的高通） 的曲線形狀相同。但是，本例中相移從中心頻率下方90°開 始，在中心頻率處趨于0°，最后結(jié)束于中心頻率上方–90°。
在圖4中，我們考察了在Q不斷變化時帶通濾波器的相位響 應(yīng)。觀察傳遞函數(shù)可以發(fā)現(xiàn)，相位變化可能發(fā)生在相對較大 的頻率范圍內(nèi)，變化的范圍與電路的Q成反比。同樣，在觀察 后發(fā)現(xiàn)，曲線的形狀與低通（和高通）響應(yīng)相同，僅范圍有 差異。
圖4. Q不斷變化時歸一化的帶通濾波器相位響應(yīng)
放大器傳遞函數(shù)
之前的部分顯示，傳遞函數(shù)基本上就是單極點濾波器的傳遞 函數(shù)。雖然放大器的相移通常被忽視，但它可影響復(fù)合濾波 器的整體傳遞。本文隨機(jī)選擇了AD822 用于濾波器的仿真。 這樣選擇的部分原因是為了最大程度地降低對濾波器傳遞函 數(shù)的影響。這是因為，放大器相移的頻率明顯高于濾波器本 身的轉(zhuǎn)折頻率。AD822的傳遞函數(shù)如圖5所示，其信息直接取 自數(shù)據(jù)手冊。
圖5. AD822波特圖增益和相位。
示例1：Q = 20 的1 kHz 2 極點帶通濾波器
第一個示例開始時是作為帶通設(shè)計的濾波器。我們隨意選擇 了一個1 kHz的中心頻率和數(shù)值為20的Q。由于Q在較高的一 側(cè)，因此我們將使用雙放大器帶通 (DABP) 配置。同樣，這 是隨意選擇的。
我們使用參考1的設(shè)計公式。相應(yīng)的電路如圖6所示：
圖6. 1 kHz、Q = 20的DABP帶通濾波器。
本文中我們主要關(guān)注相位，但我認(rèn)為考察下幅度響應(yīng)也很有用。
圖7. 1 kHz、Q = 20的DABP帶通濾波器幅度響應(yīng)。
圖8所示為相位響應(yīng)：
圖8. 1 kHz、Q = 20的DABP帶通濾波器相位響應(yīng)。
應(yīng)當(dāng)注意，DABP配置為同相。圖8與圖3一致。
示例2：從1 kHz、3 極點0.5 dB 切比雪夫低通到帶通濾波器的轉(zhuǎn)換
濾波器原理以低通原型為基礎(chǔ)，低通原型可以其他形式表示。本例使用的原型是1 kHz、3極點、0.5 dB切比雪夫濾波器。選擇切比雪夫濾波器是因為，如果響應(yīng)不正確，它可以 顯示得更清楚。例如，通帶中的紋波將不會排成一行。在本例中，巴特沃茲濾波器可能過于寬松。選擇3極點濾波器是為 了能夠轉(zhuǎn)換一個極點對和單個極點。
LP 原型的極點位置（來自參考1）為：
第一級為極點對，第二級為單極點。請注意，用α表示兩個完 全不同的參數(shù)的做法是不可取的。左側(cè)的α和β為復(fù)平面上的 極點位置。這些是轉(zhuǎn)換算法中使用的值。右側(cè)的α為1/Q，這 正是物理濾波器設(shè)計等式所希望看到的。
現(xiàn)在，低通原型被轉(zhuǎn)換成了帶通濾波器。參考1中列出的一系 列等式用于轉(zhuǎn)換。原型濾波器的每個極點都將轉(zhuǎn)換成一個極 點對。因此，轉(zhuǎn)換完成時，3極點原型將擁有6個極點（3個極 點對）。此外，原點處將有6個零點。不存在單極點帶通。
轉(zhuǎn)換過程的部分工作是指定可合成的濾波器的3 dB 帶寬。在 這種情況下，該帶寬將被設(shè)為500 Hz。產(chǎn)生的轉(zhuǎn)換結(jié)果如下：
實際上，先將更低的增益和Q部分放入串中可能很有用，因為 這可最大程度地提高信號電平處理能力。前兩級存在增益要 求的原因在于，相對于總濾波器中心頻率，它們的中心頻率 將會衰減（也就是說，它們將在其他部分的波裙上）。
由于結(jié)果得到的Q適中（小于20），因而將選用多級反饋拓?fù)?結(jié)構(gòu)。我們使用參考1中多路反饋帶通濾波器的設(shè)計方程設(shè)計 濾波器。圖9顯示了濾波器本身的原理圖。
圖9. 1 kHz、6極點、0.5 dB切比雪夫帶通濾波器。
圖10中可以看到完整濾波器的相移。曲線圖單獨顯示了第一 部分的相移（第1部分）、前兩個部分的組合相移（第2部 分），以及完整濾波器的相移（第3部分）。這些曲線顯示了 "實際"濾波器部分的相移，其中包括放大器的相移和濾波器 拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的反相。
圖10中有幾點細(xì)節(jié)需要注意。第一，相位響應(yīng)具有累積性。第 一部分顯示了180°的相位變化（濾波函數(shù)的相移，忽視了濾波 器拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的相移）。第二部分顯示了因具有兩部分而產(chǎn)生的 360°相位變化，每個部分180°。記住，360° = 0°。第三部分顯 示了540°的相移，每個部分180°。還應(yīng)注意，在高于10 kHz的 頻率處，我們開始看到相位因放大器響應(yīng)而輕微滾降。還可以 看出，滾降也具有累積性，會隨著每個部分而增大。
圖10. 1 kHz、6極點、0.5 dB切比雪夫帶通濾波器的相位響應(yīng)。
在圖11中我們可以看到完整濾波器的幅度響應(yīng)。
圖11. 1 kHz、6極點、0.5 dB切比雪夫帶通濾波器的幅度響應(yīng)。
結(jié)論
本文討論的是帶通濾波器的相移。在前面幾篇文章中，我們 考察了與濾波器拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)相關(guān)的相移以及低通和高通拓?fù)浣Y(jié) 構(gòu)的相移。在后續(xù)文章中，我們將考察陷波濾波器和全通濾 波器。在最后一期，我們將總結(jié)并考察相移如何影響濾波器 的瞬態(tài)響應(yīng)，同時還會考察群延遲、脈沖響應(yīng)、階躍響應(yīng)， 以及它們對信號的意義。
推薦閱讀：
